Возникновение чисел Сложно сказать, когда, а главное, как человек научился считать (так же, как невозможно доподлинно выяснить, когда, а главное, как возник язык). Известно только, что все древние цивилизации уже имели свои системы счёта, значит, история чисел и система счисления зародились в доцивилизационное время. История чисел и систем счисления начались с разделения понятий «один», «два», «много». Люди, научившись выделять один объект из всех остальных, произносили: «один», а если предметов было больше - «много». Однако уже в самых древних известных цивилизациях были разработаны более детальные системы счисления. Со временем, развитие цивилизованных поселений «заставляло» людей заниматься письменностью и математикой, так как в жизни появлялось все больше и больше информации и ее нужно было эффективней осваивать, а не считать до двух. Были придуманы специальные знаки для записи чисел. Они выполняли роль цифр и были удобны для чтения, но для их записи требовалось немало времени.

Вавилонская система счисления Вавилонская (месопотамская) система счисления – шестидесятиричная. До сих пор в часе 60 минут, а в минуте – 60 секунд. Потому год делится на число месяцев, кратное 60, а день делится на такое же число часов. Изначально это были солнечные часы, то есть каждый из них составлял 1/12 светового дня. Много позже длительность часа стали определять не по солнцу и добавили 12 ночных часов. Вавилонские цифры были составными и записывались как числа в десятеричной не позиционной системе счисления. Аналогичный принцип использовали индейцы Майя в своей двадцатеричной позиционной системе счисления. Для понимания записи числа между вавилонскими цифрами необходимы «пробелы».

Древнеегипетская система счисления В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз. В основе древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Ученые относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной. Число 345 древние египтяне записывали так: , где - единицы, - десятки, - сотни

Римская система счисления Римская система счисления - непозиционная система счисления, в которой для записи чисел используются буквы латинского алфавита. Для записи больших чисел необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц. Если большая цифра стоит перед меньшей, то они добавляются (принцип сложения), если же меньшая – перед большей, то меньшая вычитается (принцип вычитания). Например, VI = 5 + 1 = 6 IV = 5 - 1 = 4 XIX = 10 + 10 – 1 = 19 ХХI = 10 + 10 + 1 = 21 В настоящее время римская система счисления применяется для обозначения: веков (XV век и т.д.), годов н. э. (MCMLXXVII т. д.) и месяцев при указании дат (например, 1. V.1975) порядковых числительных производных больших порядков: yIV, yV и т.д. валентности химических элементов

Кириллическая (славянская) система счисления - отдельная буква соответствовала каждой цифре (от 1 до 9), каждому десятку (от 10 до 90) и каждой сотне (от 100 до 900). Чтобы читающий понимал, что перед ним цифры, применяли специальный знак – титло. Изображался он в виде волнистой линии и помещался над буквой. Назывался «аз под титло» и означал единицу. Кириллическая система счисления Не все буквы алфавита использовались в качестве цифр. Например, «Б» и «Ж» в цифры не обращались, т.к. их не было в древнегреческой азбуке, которая лежала в основе цифровой системы. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию

Арабская система счисления Арабская система счисления состоит из десяти символов: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, с помощью которых записывается в десятичной системе счисления любое число. Арабские цифры возникли в Индии и в 10-13 вв. были занесены в Европу арабами (отсюда и название). «Арабские» цифры являются изобретением стекольщика - Геометрика. Он считал, что девяти цифрам нужно придать форму, которая соответствовала бы их значению и предлагал для этого фигуры с соответствующим количеством углов. Если сделать определенные перемещения этих фигур, то они вместе составят арабское выражение: Моя цель – вычисление (араб.) Данные символы и способ их использования европейцы заимствовали в Средние века в мусульманских математиков (уровень математики арабских стран в то время был выше, чем у европейцев), отсюда и происходит название арабские цифры. На самом деле арабы переняли их у индейцев. Арабская система счисления является позиционной – вес каждой цифры определяется положением в числе.

Системы счисления Система счисления - запись чисел с помощью некоторого алфавита, символы которого называют цифрами (способ кодирования числовой информации) . Системы счисления делятся на: позиционные непозиционные К позиционным системам счисления относятся двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная. Здесь любое число записывается последовательностью цифр соответствующего алфавита, причем значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в этой последовательности. Например, в записи 555, сделанной в десятичной системе счисления, использована одна цифра 5, но в зависимости от занимаемого ею места она имеет разное количественное значение – 5 единиц, 5 десятков или 5 сотен. Непозиционные системы счисления - это такие системы, в которых значение цифры не зависит от ее положения в числе (римская система счисления).

Позиционные системы счисления В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы с основаниями два, десять, восемь и шестнадцать являются позиционными системами счисления. Продвижением цифры называют её замену на следующую по величине. Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3. Продвижение старшей цифры в десятичной системе (это цифра 9) означает замену её на 0. Примеры первых десяти цифр в разных системах счисления: Двоичная: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001. Десятичная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Восьмеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11. Шестнадцатеричная: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (числа от 10 до 15 в шестнадцатеричной системе изображаются буквами A, B, C, D, E, F). Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления относятся к классу машинных систем счисления.

Системы счисления . 4

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .. 10

Приложение . 11

ВВЕДЕНИЕ

В процессе изучения систем счисления особый интерес представляет так называемая "вавилонская", или шестидесятеричная система счисления, весьма сложная система, существовавшая в Древнем Вавилоне.

Мнения историков по поводу того, как именно возникла эта система счисления, расходятся.

Существуют две гипотезы .

Первая исходит из того, что произошло слияние двух племен, одно из которых пользовалось шестеричной, другое - десятичной. Шестидесятеричная система счисления в данном случае могла возникнуть в результате своеобразного политического компромисса.

Суть второй гипотезы в том, что древние вавилоняне считали продолжительность года равной 360 суткам, что естественно связано с числом 60. Отголоски использования этой системы счисления дошли до наших дней. Например: 1 час = 60 минутам, 1° = 60‘.

В целом шестидесятеричная система счисления громоздка.

Системы счисления

Интуитивное представление о числе, по-видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей.

То, что первобытные люди сначала знали только "один", "два" и "много", подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа. Позднее человек научился делать различия между двумя и тремя деревьями и между тремя и четырьмя людьми.

Счет изначально был связан с вполне конкретным набором объектов, и самые первые названия чисел были прилагательными. Например, слово "три" использовалось только в сочетаниях "три дерева" или "три человека"; представление о том, что эти множества имеют между собой нечто общее - понятие троичности - требует высокой степени абстракции. О том, что счет возник раньше появления этого уровня абстракции, свидетельствует тот факт, что слова "один" и "первый", равно как "два" и "второй", во многих языках не имеют между собой ничего общего, в то время как лежащие за пределами первобытного счета "один", "два", "много", слова "три" и "третий", "четыре" и "четвертый" ясно указывают на взаимосвязь между количественными и порядковыми числительными.

Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой совокупности. В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались.

Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов; несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов. Счет на бирках, по-видимому, был первым приемом, который использовался в подобных случаях: зарубки на бирках располагались определенными группами подобно тому, как при подсчете избирательных бюллетеней их часто группируют пачками по пять или десять штук. Очень широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.

Важная особенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово "двадцать три" - не просто термин, означающий вполне определенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной, означающий "два раза по десять и три". Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания; и действительно, многие считают десятками, потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах. По той же причине использовались основания пять или двадцать.

На очень ранних стадиях развития истории человечества за основания системы счисления принимались числа 2, 3 или 4; иногда для некоторых измерения или вычислений использовались основания 12 и 60. Считать человек начал задолго до того, как он научился писать, поэтому не сохранилось никаких письменных документов, свидетельствовавших о тех словах, которыми в древности обозначали числа. Для кочевых племен характерны устные названия чисел, что же касается письменных, то необходимость в них появилась лишь с переходом к оседлому образу жизни, образованием земледельческих сообществ. Возникла и необходимость в системе записи чисел, и именно тогда было заложено основание для развития математики.

История появления вавилонской системы счисления

Вавилонская система счисления появилась в Древнем Вавилоне за 2000 лет до н.э. Она очень сильно повлияла на письменность в целом будущего мира.

Вавилонская система (шестидесятеричная) одна из первых известных систем счисления мира, основанная на позиционном принципе. Система счисления Вавилона сыграла огромную роль в развитии математики, астрономии и других точных наук будущего мира, ее следы находят по наши дни.

В наше время мы делим один час на 60 минут, а минуту делим на 60 секунд. Также окружность мы делим на 360 частей. Оказывается теми простыми делениями мы следуем примеру Вавилона!

В своем развитии человечество старалось совершенствовать запись чисел, которыми им приходилось пользоваться все чаще и чаще, у разных народов в разные времена употреблялись самые различные системы счета. В этой системе счисления числа составлялись из двух видов знаков. Прямой клин использовался для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения десятков. Клинья в этой системе счисления использовались как цифры. Число 60 снова обозначалось тем же прямым клином, что и 1. Тем же знаком обозначались числа 3600 и 602, 216000 и 603, и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления называется шестидесятеричной.

Для того чтобы определить значения знака, надо было изображение этого числа разбить на разряды справа налево. Чередование групп имеющие одинаковые знаки соответствовало чередованию разрядов. Значение числа определялось по составляющим значениям его цифр, но с тем учетом, что цифры в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех цифр в предыдущем разряде. В конце числа этот символ обычно не ставился, то есть этот символ не был нулем в нашем понимании.

Таблицу умножения в Вавилоне запомнить было практически невозможно. Вавилоняне пользовались готовыми таблицами умножения при вычислениях. В целом вавилонская система была очень громоздка и неудобна. Эта системы дала очень сильный толчок к развитию будущих систем счисления... Сейчас можно сказать с уверенностью, что если бы не было вавилонской системы счисления, то возможно мы бы сейчас либо пользовались другими системами, либо не могли просто считать.

Особенности вавилонской системы счисления

В Древнем Вавилоне, ок. 1650 до н.э., система счисления была псевдопозиционной или лишь относительно позиционной, поскольку не существовало эквивалента современной десятичной запятой, равно как и символа для обозначения отсутствующей позиции. Обозначал ли символ

число 1*(60)2 + 1 или 1*(60)2 + 1*(60), приходилось догадываться из контекста. Однако в период правления селевкидов, ок. 300 до н.э., эта неоднозначность была устранена введением специального символа в виде двух небольших клиньев, помещаемого на пустующее место, т.е. обозначающего пустую позицию в записи числа. Таким образом, из системы счисления была устранена отмеченная выше неоднозначность. Например, символ

означал число 3601, т.е. 1*(60)2 + 0*(60) + 1. В то же время не было найдено ни одной таблички с записью, в которой символ нуля находился бы в конце числа.

Именно поэтому вавилонскую систему мы считаем лишь относительно позиционной, ибо самый правый знак мог означать либо единицы, либо кратные какой-нибудь степени числа 60. Тем не менее изобретение вавилонянами позиционной системы счисления с нулем представляло собой огромное достижение, по своему революционному значению для математики сопоставимое разве лишь с более поздней гипотезой Коперника в астрономии.

Символы для обозначения чисел на вавилонских глиняных табличках не столь точны, как символы для обозначения чисел на древнеегипетских папирусах, несмотря на то, что вавилоняне использовали позиционный принцип.

В исключительных случаях вавилоняне применяли сокращенные формы записи, иногда - с новыми символами для обозначения чисел 100 и 1000, или использовали принципы умножения или вычитания. Однако превосходство разработанной в Месопотамии системы счисления отчетливо видно в обозначении дробей. Здесь не требовалось вводить новые символы. Как и в нашей собственной десятичной позиционной системе, в древневавилонской системе подразумевалось, что на первом месте справа от единиц стоят величины, кратные 1/60, на втором месте - величины кратные 1/602 и т.д. Привычное нам деление часа и углового или дугового градуса на 60 минут, а одной минуты - на 60 секунд берет начало от вавилонской системы счисления."

Но для записи чисел больше 59 древние вавилоняне впервые использовали новый принцип - одно из самых выдающихся достижений в развитии систем обозначений чисел - принцип позиционности, т.е. зависимости значения символа от его местоположения в записи числа. Вавилоняне заметили, что в качестве коллективных символов более высокого порядка можно применять уже ранее использованные символы, если они будут занимать в записи числа новое положение левее предыдущих символов. Так, один клиновидный знак мог использоваться для обозначения и 1, и 60, и 602, и 603, в зависимости от занимаемого им в записи числа положения, подобно тому, как единица в наших обозначениях используется в записях и 10, и 102, и 103, и в числе 1111. При обозначении чисел больше 60 знаки, выступающие в новом качестве, отличались от старых тем, что символы разбивались на "места", или "позиции", и единицы более высокого порядка располагались слева. При таком способе записи для обозначения сколь угодно больших чисел уже не нужно было других символов, кроме уже известных. Например, число 6789 можно было записать так:

Cлайд 1

Cлайд 2

Cлайд 3

Cлайд 4

Cлайд 5

Cлайд 6

Cлайд 7

Cлайд 8

Cлайд 9